Valores Médios e Desvio Padrão

Na Mecânica Estatística, a transição formal entre as probabilidades dos microestados e as propriedades termodinâmicas macroscópicas é obtida através dos momentos de uma distribuição. Como vimos no problema associado ao Caminho Aleatório, modelar o sistema com as variáveis individuais é inviável, de modo que precisamos construir nosso conhecimento com grandezas mensuráveis combinadas. O comportamento físico macroscópico é definido tipicamente em torno do seu Valor Médio (a observação termodinâmica esperada e que domina o sistema escalarmente) e do seu Desvio Padrão (que reflete naturalmente a escala da incerteza, dispersão experimental e intensidade das flutuações estatísticas do sistema).

Distribuição de Probabilidade

Seja $u$ uma variável aleatória que pode assumir M valores discretos, $u_1, u_2, \dots, u_M$. A probabilidade $P(u_i)\equiv P_i$ de que a variável assuma o valor $u_i$ deve estar no intervalo $0 \le P_i \le 1$, para qualquer $i \in \{1, 2, \dots, M\}$. A distribuição normalizada significa que a soma das probabilidades de todos os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos deve ser igual a 1:

$$ \sum_{i=1}^{M} P(u_i) = 1 $$

Valor Médio

O valor médio (ou valor esperado) da variável $u$, denotado como $\bar{u}$ ou $\langle u \rangle$, é definido como a soma dos possíveis valores de $u$ multiplicados pelas suas respectivas probabilidades:

$$ \bar{u} \equiv \langle u \rangle = \sum_{i=1}^{M} u_i P(u_i) $$

Se $f(u)$ é uma função de $u$, então o valor médio de $f(u)$ é dado por:

$$ \bar{f(u)} \equiv \langle f(u) \rangle = \sum_{i=1}^{M} f(u_i) P(u_i) $$

Se $u$ é uma variável contínua, então o valor médio de $u$ é dado por:

$$ \bar{u} \equiv \langle u \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} u P(u) du $$

Se $u$ é uma variável contínua, então o valor médio de $f(u)$ é dado por:

$$ \bar{f(u)} \equiv \langle f(u) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(u) P(u) du $$

Propriedades do Valor Médio

A operação de valor médio, denotada por $\langle \cdot \rangle$, comporta-se como um operador linear. Para quaisquer funções $f(u)$ e $g(u)$ de uma variável aleatória $u$, e constantes $c$, $a$ e $b$, as propriedades mais essenciais são:

Valor médio de uma constante: A média de um valor constante $c$ é a própria constante.
$$ \langle c \rangle = c $$
Multiplicação de função por constante (Homogeneidade): Constantes podem ser fatoradas para fora do cálculo do valor médio.
$$ \langle c f(u) \rangle = c \langle f(u) \rangle $$
Soma de função com constante: A média de uma função somada com uma constante é igual à média funcional acrescida da constante.
$$ \langle f(u) + c \rangle = \langle f(u) \rangle + c $$
Soma de funções (Aditividade): O valor médio da soma de funções é idêntico à soma dos respectivos valores médios de cada função.
$$ \langle f(u) + g(u) \rangle = \langle f(u) \rangle + \langle g(u) \rangle $$
Linearidade geral (para funções): Combinação direta das propriedades de aditividade e homogeneidade acima.
$$ \langle a f(u) + b g(u) \rangle = a \langle f(u) \rangle + b \langle g(u) \rangle $$
Produto de funções (de variáveis independentes): Se tivermos duas variáveis aleatórias distintas $u$ e $v$, e funções que dependem exclusivamente de cada uma delas, denotadas por $f(u)$ e $g(v)$, ocorre a separação:
$$ \langle f(u) g(v) \rangle = \langle f(u) \rangle \langle g(v) \rangle $$
apenas se, e somente se, as variáveis $u$ e $v$ forem estatisticamente independentes. Cuidado: para o produto de duas funções da mesma variável, em geral a relação não se divide: $\langle f(u) g(u) \rangle \neq \langle f(u) \rangle \langle g(u) \rangle$.

Desvio da Média

O desvio da média é definido como:

$$ \Delta u = u - \bar{u} = u - \langle u \rangle $$

É claro que o valor médio do desvio da média é zero:

$$ \langle \Delta u \rangle = \langle (u - \langle u \rangle) \rangle = \langle u \rangle - \langle \langle u \rangle \rangle = \langle u \rangle - \langle u \rangle = 0 $$

ou seja, a média dos desvios da média é zero.

Desvio Quadrático e Dispersão

O desvio quadrático é dado por:

$$ (\Delta u)^2 = (u - \langle u \rangle)^2 = u^2 - 2u\langle u \rangle + \langle u \rangle^2 $$

A dispersão, ou segundo momento é o valor médio do desvio quadrático:

$$ \langle (\Delta u)^2 \rangle = \langle (u - \langle u \rangle)^2 \rangle = \langle u^2 \rangle - \langle u \rangle^2 $$

É claro que $\langle (\Delta u)^2 \rangle \geq 0$, pois é o valor médio de uma soma de quadrados.

Desvio Padrão

A raiz quadrada da dispersão é chamada de desvio padrão e é denotada por $\sigma_u$:

$$ \sigma_u = \sqrt{\langle (\Delta u)^2 \rangle} = \sqrt{\langle u^2 \rangle - \langle u \rangle^2} $$

O desvio padrão é uma medida de dispersão que indica o quanto os valores de uma variável aleatória se desviam da sua média. A comparação entre o desvio padrão e o valor médio é muito importante para determinar a precisão das medições e nos fornece uma ideia da largura da distribuição de probabilidade(ou seja, o quão fina ou larga é a distribuição).

Momentos

Finalmente, podemos definir o momento em relação à média de ordem $n$ de uma variável aleatória $u$ como:

$$ \langle (u - \langle u \rangle)^n \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} (u - \langle u \rangle)^n p(u) du $$

Note que para $n=1$, temos $\langle (u - \langle u \rangle)^1 \rangle = \langle u - \langle u \rangle \rangle = 0$, como já vimos anteriormente.

Por meio dos momentos, sempre é possivel reconstruir a função de distribuição de probabilidade $p(u)$. No entanto, em muitos casos de interesse físico, para um número grande de eventos, é possivel obter uma boa aproximação de $p(u)$ utilizando apenas os dois primeiros momentos (média e desvio padrão).

Exemplo: Caminho Aleatório

No caso do problema do caminho aleatório, temos:

$$ \langle N_1 \rangle = \sum_{N_1=0}^{N} N_1 P(N_1) = \sum_{N_1=0}^{N} N_1 \frac{N!}{N_1!(N_2)!} p^{N_1} q^{N_2} = N p $$

onde $N_2 = N - N_1$ e $q = 1 - p$. Portanto podemos escrever:

$$ \langle N_1 \rangle = p \frac{\partial}{\partial p} \sum_{N_1=0}^{N} P(N_1) = p \frac{\partial}{\partial p} (p + q)^N = p \cdot N (p + q)^{N-1} = pN $$

Para $N_2$ temos:

$$ \langle N_2 \rangle = q \frac{\partial}{\partial q} \sum_{N_1=0}^{N} P(N_1) = q \frac{\partial}{\partial q} (p + q)^N = q \cdot N (p + q)^{N-1} = qN $$